现在所知的Z变换的基本思想，拉普拉斯就已了解，而1947年W. Hurewicz（英语：Witold Hurewicz）用作求解常系数差分方程的一种容易处理的方式。 后来由1952年哥伦比亚大学的采样控制组的約翰·拉加齊尼（英语： 展开

逆Z变换为
$${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}$$
其中 C 是完全处于 展开

这里：
$${\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}$$
是单位阶跃函数而
是离散时间单位冲激函数 展开

双线性变换
双线性变换可以用在連續時間濾波器（用拉氏域表示）和離散時間濾波器（用Z域表示）之間的轉換，其轉換關係如下：
$${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}$$
將一個拉氏域的函數 展开

收敛域（ROC）是指Z变换的求和收敛的复平面上的点集。
例1（收敛域不存在） 展开

对于区域 |z|=1（称为单位圆）内的 z 值，我们可以通过定义 z=e 来用单一实变量的函数来表示该变换。于是双边变换就简化为了傅里叶级数 展开

线性常系数差分（LCCD）方程是基于自回归滑动平均的线性系统表达形式。
上面等式两边可以同时除 … 展开